DBSCAN聚类算法公式和步骤 DBSCAN例题算法详解

DBSCAN聚类算法，全称为Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise（基于密度的带噪声的空间聚类应用），是一种非常流行的聚类算法。它的主要特点是不需要预先指定簇的数量，并且能够识别和处理噪声数据。那么，让我们深入了解一下DBSCAN聚类算法的公式、步骤以及通过一个简单的例题来详细分析其工作原理。

一、DBSCAN算法的核心概念

在开始之前，我们需要理解DBSCAN中的几个核心概念：

1. ε (epsilon)：这是定义点之间距离的最大半径。如果两个点之间的距离小于或等于ε，它们被认为是“直接可达”的。
   

2. MinPts： 这是一个阈值，表示一个点要成为核心点（core point）所需的邻居数。
   

3. 核心点、边界点和噪声点：如果一个点的ε邻域内至少包含MinPts个点（包括该点自身），则该点为核心点。那些在核心点的ε邻域内但不满足核心点条件的点被称为边界点。不属于任何簇且既不是核心点也不是边界点的点被标记为噪声点。
   

二、DBSCAN算法步骤详解

1. 确定所有数据点的邻域
   

对于数据集中的每个点，找出所有在其ε邻域内的邻近点。

1. 标记核心点
   

接下来，根据MinPts的值，将每个点的ε邻域内数量大于或等于MinPts的点标记为核心点。

1. 构建聚类
   

从任意一个未访问的核心点开始，找出所有与其直接密度相连的其他核心点，形成一个簇。重复这个过程直到所有的核心点都被访问过。

1. 处理边界点和噪声点

对于那些没有被分配到任何簇中的点，检查它们是否与已形成的簇中的核心点是边界可达的。如果是，则将这些点加入到对应的簇中。剩下的点即为噪声点。

三、DBSCAN例题算法详解

假设我们有一个二维平面上的五个点A(2,2), B(3,3), C(8,7), D(6,5), E(12,10)，设定ε = 3，MinPts = 2。

1. 计算每点的ε邻域:
   

A的ε邻域有B。

B的ε邻域有A和C。

C的ε邻域只有B。

D的ε邻域内没有其他点。

E的ε邻域内没有其他点。

1. 标记核心点: 

根据MinPts = 2的条件，A和B都是核心点，因为它们的ε邻域内有超过2个点。

1. 构建聚类:

从A开始，找到其ε邻域内的点B，由于B也是核心点，因此它们属于同一聚类。此时，C虽然是B的ε邻居，但不是核心点，因此暂时不加入聚类。

以D和E作为初始点的尝试都失败了，因为没有足够的邻居形成聚类。

1. 处理边界点:
   

C点虽然不是核心点，但它是B的直接可达点，因此C应该被添加到由A和B形成的簇中。

D和E既不是核心点也没有与其他点的ε邻域相交，所以它们是噪声点。

通过这个简单的例题，我们可以看到DBSCAN是如何根据点的局部密度特性来形成聚类的。这种算法特别适用于具有不同形状和大小的聚类结构，以及存在噪声数据的复杂场景。

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